label {
font-family: Heebo, Arial, sans-serif;
font-weight: bold;
}
סמנו ב-✔, או בטלו את הסימון, כדי להראות/להחביא את החלקים השונים:הגדרותמשפטיםהוכחותדוגמאותלחצו על תגיות ה-"הוכחה." כדי להראות/להחביא הוכחות
כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\newcommand{\MKbigcupdot}{\bigsqcup}\)איחוד זר גדול
הקוד שלהלן מייצר את הסימון לאיחוד זר כסימן של איחוד רגיל עם נקודה בתוכו. הקוד מבוסס על זה שמופיע בתגובה הרביעית שבשרשור הזה: https://tex.stackexchange.com/questions/3964/mathematical-symbol-for-disjoint-set-union.
חבורה סדורה היא רביעייה סדורה \(\left(G,\cdot,e,\leq\right)\) כך ש-\(\left(G,\cdot,e\right)\) היא חבורה, ו-\(\leq\) הוא יחס סדר מלא על \(G\) המקיים שלכל \(a,b,c\in G\), אם \(a\leq b\) אז \(c\cdot a\leq c\cdot b\).
תזכורת:
בהינתן חבורה סדורה \(\left(G,+,0,\leq\right)\), מרחב \(G\)-מטרי הוא זוג סדור \(\left(\MKbbx,d\right)\) כך ש-\(\MKbbx\) היא קבוצה לא ריקה, ו-\(d:\MKbbx\times\MKbbx\rightarrow G\) היא פונקציה המקיימת את שלוש התכונות הבאות:
חיוביות בהחלט - לכל \(a,b\in\MKbbx\) מתקיים \(d\left(a,b\right)\geq0\), ובנוסף \(d\left(a,b\right)=0\) אם"ם \(a=b\).
סימטריה - לכל \(a,b\in\MKbbx\) מתקיים \(d\left(a,b\right)=d\left(b,a\right)\).
אי-שוויון המשולש - לכל \(a,b,c\in\MKbbx\) מתקיים \(d\left(a,c\right)\leq d\left(a,b\right)+d\left(b,c\right)\).
תהא \(\MKclg\) חבורה אבלית סדורה, ויהי \(\left(\MKbbx,d\right)\) מרחב \(\MKclg\)-מטרי.
1.1 היחס "נמצאת בין"
הגדרה 1.1. הגדרה 1. תהיינה \(a,b,c\in\MKbbx\) שלוש נקודות כך ש-\(a\) ו-\(b\) שונות מ-\(c\), נאמר ש-\(b\)נמצאת בין\(a\) ל-\(c\) אם מתקיים \(d\left(a,c\right)=d\left(a,b\right)+d\left(b,c\right)\).
מסקנה 1.2. מסקנה 2. לכל שלוש נקודות, רק אחת מהן יכולה להיות בין שתי האחרות.
הגדרה 1.3. הגדרה 3. לכל \(a,b\in\MKbbx\) נסמן:\[\begin{align*}
\left(a,b\right) & :=\left\{ x\in\MKbbx\mid b\text{ל-}\ a\ \text{נמצאת בין}\ x\right\} \\
\left[a,b\right] & :=\left\{ x\in\MKbbx\mid d\left(a,b\right)=d\left(a,x\right)+d\left(x,b\right)\right\} \\
\left[a,b\right) & :=\left[a,b\right]\setminus\left\{ b\right\} \\
\left(a,b\right] & :=\left[a,b\right]\setminus\left\{ a\right\}
\end{align*}\]כל אחת מארבע הקבוצות הנ"ל תיקרא קטע, ובנוסף \(\left(a,b\right)\) תיקרא הקטע הפתוח שבין \(a\) ל-\(b\) ו-\(\left[a,b\right]\) תיקרא הקטע הסגור שבין \(a\) ל-\(b\).
\(\clubsuit\)
בהמשך נראה שכל קטע סגור הוא קבוצה סגורה, אך לעומת זאת קטע פתוח אינו בהכרח קבוצה פתוחה.
טענה 1.5. טענה 5. לכל \(a,b\in\MKbbx\) הקטע \(\left[a,b\right]\) הוא קבוצה סגורה וחסומה.
הוכחה. הוכחה. העובדה ש-\(\left[a,b\right]\) חסומה היא טריוויאלית: לכל \(x\in\left[a,b\right]\) מתקיים \(d\left(a,x\right)=d\left(a,b\right)-d\left(x,b\right)\leq d\left(a,b\right)\), אם כן נותר לנו להוכיח שהיא סגורה. תהא \(f:\MKbbx\rightarrow\MKclg\) הפונקציה המוגדרת ע"י \(f\left(x\right):=d\left(a,x\right)+d\left(x,b\right)\) לכל \(x\in\MKbbx\), תהא \(\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) סדרת נקודות ב-\(\left[a,b\right]\) המתכנסת לנקודה \(x\in\MKbbx\). מאריתמטיקה של רציפות ומרציפות המטריקה נובע ש-\(f\) רציפה, ומהגדרת \(\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\) נובע שלכל \(n\in\MKnatural\) מתקיים \(f\left(x_{n}\right)=d\left(a,x_{n}\right)+d\left(x_{n},b\right)=d\left(a,b\right)\). כעת נקבל מאפיון היינה לרציפות של פונקציה בנקודה שמתקיים:\[
d\left(a,x\right)+d\left(x,b\right)=f\left(p\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(x_{n}\right)=d\left(a,b\right)
\]כלומר \(x\in\left[a,b\right]\). אם כן \(\left[a,b\right]\) סגורה לגבולות ולכן סגורה.
טענה 1.6. טענה 7. לכל \(a,b,c,x\in\MKbbx\) כך ש-\(b\in\left(a,c\right)\), מתקיימת לכל היותר אחת משתי האפשרויות הבאות:
\(x\in\left(a,b\right)\)
\(x\in\left(b,c\right)\)
הוכחה. הוכחה. יהיו \(a,b,c,x\in\MKbbx\) כך ש-\(b\in\left(a,c\right)\), ונניח בשלילה ש-\(b\in\left(a,c\right)\), \(x\in\left(a,b\right)\) ו-\(x\in\left(b,c\right)\).\[\begin{align*}
\Rightarrow d\left(a,c\right) & =d\left(a,b\right)+d\left(b,c\right)\\
\Rightarrow d\left(a,b\right) & =d\left(a,x\right)+d\left(x,b\right)\\
\Rightarrow d\left(b,c\right) & =d\left(b,x\right)+d\left(x,c\right)
\end{align*}\]\[
\Rightarrow d\left(a,c\right)=d\left(a,x\right)+2\cdot d\left(b,x\right)+d\left(x,c\right)
\]מהנחת השלילה נובע ש-\(b\neq x\), כלומר \(d\left(b,x\right)>0\) ומכאן ש-\(d\left(a,c\right)>d\left(a,x\right)+d\left(x,c\right)\) בסתירה לא"ש המשולש.
מסקנה 1.7. מסקנה 9. לכל \(a,b,x,y\in\MKbbx\) כך ש-\(x,y\in\left(a,b\right)\), מתקיימת בדיוק אחת משלוש האפשרויות הבאות:
הוכחה. הוכחה. האפשרות הראשונה סותרת את שתי האחרות לפי הגדרה, ואילו השנייה והשלישית סותרות זו את זו ע"פ המסקנה הקודמת (1.6); מכאן שמתקיימת לכל היותר אחת משלוש האפשרויות, אם כן נותר להוכיח שאחת מהן מתקיימת. יהיו \(a,b,x,y\in\MKbbx\) כך ש-\(x,y\in\left(a,b\right)\), ונניח ש-\(x\neq y\). אם כן מהמסקנה הקודמת (1.6) נובע ש-\(y\in\left(a,x\right)\) ו/או \(y\in\left(b,x\right)\) וכמו כן \(x\in\left(a,y\right)\) ו/או \(x\in\left(b,y\right)\). מהגדרה לא ייתכן ש-\(y\in\left(a,x\right)\) וגם \(x\in\left(a,y\right)\), וכמו כן לא ייתכן ש-\(y\in\left(b,x\right)\) וגם \(x\in\left(b,y\right)\), כלומר שתי האפשרויות היחידות הן:
טענה 1.8. טענה 11. לכל \(a,b,c\in\MKbbx\) כך ש-\(b\in\left(a,c\right)\) מתקיים \(\left(a,b\right)\subseteq\left(a,c\right)\) ו-\(\left(b,c\right)\subseteq\left(a,c\right)\).
הוכחה. הוכחה. נוכיח ש-\(\left(a,b\right)\subseteq\left(a,c\right)\), ההוכחה שמתקיים גם \(\left(b,c\right)\subseteq\left(a,c\right)\) זהה עד כדי החלפת \(a\) ו-\(c\) בכל מקום. תהא \(p\in\left(a,b\right)\) ונניח בשלילה ש-\(p\notin\left(a,c\right)\), כלומר \(d\left(a,c\right)<d\left(a,p\right)+d\left(p,c\right)\).\[\begin{align*}
\Rightarrow{\color{red}d\left(a,p\right)}+d\left(p,c\right) & >d\left(a,c\right)=d\left(a,b\right)+d\left(b,c\right)\\
& ={\color{red}d\left(a,p\right)}+d\left(p,b\right)+d\left(b,c\right)
\end{align*}\]\[
\Rightarrow d\left(p,c\right)>d\left(p,b\right)+d\left(b,c\right)
\]אך זוהי סתירה לא"ש המשולש. מכאן שהנחת השלילה אינה נכונה ו-\(p\in\left(a,b\right)\), כלומר \(\left(a,b\right)\subseteq\left(a,c\right)\).
טענה 1.9. טענה 13. לכל \(a,b,c,x\in\MKbbx\) כך ש-\(b\in\left(a,c\right)\) ו-\(c\in\left(b,x\right)\), מתקיים \(\left(a,c\right)\cap\left(b,x\right)=\left(b,c\right)\).
הוכחה. הוכחה. תהיינה \(a,b,c,x\in\MKbbx\), כך ש-\(b\in\left(a,c\right)\) ו-\(c\in\left(b,x\right)\).
מהטענה הקודמת (1.8), ומהעובדה ש-\(b\in\left(a,c\right)\) ו-\(q\in\left(b,c\right)\), נובע ש-\(q\in\left(a,c\right)\).
מהטענה הקודמת (1.8), ומהעובדה ש-\(c\in\left(b,x\right)\) ו-\(q\in\left(b,c\right)\), נובע ש-\(q\in\left(b,x\right)\).
1.2 מרחבים מכוונים
\(\clubsuit\)
נדמיין שאנו מסדרים שלושה כדורים \({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\) בשורה בדיוק בסדר שבה הם מוצגים בתחילת המשפט1כלומר \(\boldsymbol{{\color{blue}b}}\) נמצא בין \(\boldsymbol{{\color{red}a}}\) ל-\(\boldsymbol{{\color{green}c}}\), \(\boldsymbol{{\color{red}a}}\) נמצאת משמאל ל-\(\boldsymbol{{\color{blue}b}}\) ו-\(\boldsymbol{{\color{green}c}}\) נמצאת מימין ל-\(\boldsymbol{{\color{blue}b}}\).. בהינתן כדור נוסף - \(\boldsymbol{{\color{orange}x}}\), איננו יודעים היכן נמצא כדור זה ביחס לאחרים, אך נדע לומר שאם \({\color{green}\boldsymbol{c}}\) נמצא בין \(\boldsymbol{{\color{orange}x}}\) ל-\(\boldsymbol{{\color{blue}b}}\) הרי ש-\(\boldsymbol{{\color{orange}x}}\) נמצא מימין ל-\({\color{green}\boldsymbol{c}}\), ולכן \({\color{green}\boldsymbol{c}}\) נמצא גם בין \(\boldsymbol{{\color{orange}x}}\) ל-\(\boldsymbol{{\color{red}a}}\); ולהפך: אם \({\color{green}\boldsymbol{c}}\) נמצא בין \(\boldsymbol{{\color{orange}x}}\) ל-\(\boldsymbol{{\color{red}a}}\) שוב ניתן להסיק ש-\(\boldsymbol{{\color{orange}x}}\) נמצא מימין ל-\(\boldsymbol{{\color{green}c}}\) ולפיכך \(\boldsymbol{{\color{green}c}}\) נמצא בין \(\boldsymbol{{\color{orange}x}}\) ל-\(\boldsymbol{{\color{blue}b}}\). הבעיה היא שהגדרת היחס "נמצאת בין" אינה מספיקה כדי שאכן נוכל להסיק ממנה את הנ"ל - נתבונן במרחב המטרי \(\left(\left\{ {\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right\} ,d\right)\), כאשר \(d\) מוגדרת ע"י:\[\begin{align*}
d\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}}\right) & =1 & d\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right) & =1\\
d\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right) & =2 & d\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right) & =2\\
d\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right) & =1 & d\left({\color{green}\boldsymbol{c}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right) & =1
\end{align*}\]ניתן לדמיין את המרחב המטרי הזה כאילו ארבע הנקודות נמצאות על מעגל שאורך חצי ההיקף שלו הוא \(2\), והמרחק בין כל שתי נקודות הוא אורך הקשת הקצרה ביותר המחברת ביניהם2מנקודת מבט זו הזוגות \(\boldsymbol{{\color{red}a}},\boldsymbol{{\color{green}c}}\) ו-\({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\) הם זוגות של נקודות אנטיפודיות..
הגדרה 1.10. הגדרה 15. קבוצה \(O\subseteq\MKbbx\) תיקרא מכוונת, אם לכל \({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\in O\) כך ש-\({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\) מתקיים:\[
{\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right)\Longleftrightarrow{\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right)
\]כמו כן, נאמר ש-\(\left(\MKbbx,d\right)\) הוא מרחב \(\MKclg\)-מטרי מכוון אם \(\MKbbx\) היא קבוצה מכוונת.
מסקנה 1.11. מסקנה 16. תת-קבוצה של קבוצה מכוונת גם היא מכוונת.
מסקנה 1.12. מסקנה 17. כל קבוצה בת שלושה איברים או פחות, היא קבוצה מכוונת.
נניח ש-\(\left(\MKbbx,d\right)\) הוא מרחב \(\MKclg\)-מטרי מכוון3לאורך כל הפרק הזה והבאים אחריו ניתן להניח ש-\(\MKbbx\) הוא תת-בקבוצה מכוונת של מרחב \(\MKclg\)-מטרי כללי, כך שלא איבדנו את הכלליות - זהו רק עניין של נוחות..
מסקנה 1.13. מסקנה 18. לכל \({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\in\MKbbx\) כך ש-\({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\) ו-\({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right)\), מתקיים \({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right)\).
הוכחה. הוכחה. יהיו \({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\in\MKbbx\) כך ש-\({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\) ו-\({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right)\). העובדה ש-\({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right)\) היא פשוט ההגדרה של מרחב מכוון בנוסח שלעיל, כדי לקבל את העובדה ש-\({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right)\) יש להחליף בכל מקום בין \(\boldsymbol{{\color{red}a}}\) ל-\(\boldsymbol{{\color{orange}x}}\) ובין \(\boldsymbol{{\color{blue}b}}\) ל-\(\boldsymbol{{\color{green}c}}\).
מסקנה 1.14. מסקנה 20. לכל \({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\in\MKbbx\) כך ש-\({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\) ו-\({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right)\), מתקיים \(\left[{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right]\subseteq\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right)\).
הוכחה. הוכחה. תהיינה \(a,b,c,x\in\MKbbx\), כך ש-\(b\in\left(a,c\right)\) ו-\(c\in\left(b,x\right)\), אם כן לפי המסקנה הקודמת (1.13) מתקיים \(b,c\in\left(a,x\right)\). תהא \(p\in\left[b,c\right]\), אם \(p=b\) או ש-\(p=c\) הרי שכבר הוכחנו את המבוקש בשורה הקודמת, לכן נוכל להניח ש-\(p\in\left(b,c\right)\).
\({\color{blue}\boldsymbol{p}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{c}},{\color{green}\boldsymbol{b}}\right)\) ו-\({\color{green}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{c}},{\color{orange}\boldsymbol{a}}\right)\), מכאן ש-\(\boldsymbol{{\color{green}b}}\in\left(\boldsymbol{{\color{blue}p}},\boldsymbol{{\color{orange}a}}\right)\).
\({\color{blue}\boldsymbol{p}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\) ו-\({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right)\), מכאן ש-\(\boldsymbol{{\color{green}c}}\in\left(\boldsymbol{{\color{blue}p}},\boldsymbol{{\color{orange}x}}\right)\).
\({\color{blue}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{x}},{\color{green}\boldsymbol{p}}\right)\) ו-\({\color{green}\boldsymbol{p}}\in\left({\color{blue}\boldsymbol{c}},\boldsymbol{{\color{orange}b}}\right)\), מכאן ש-\({\color{green}\boldsymbol{p}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{x}},\boldsymbol{{\color{orange}b}}\right)\).
\({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left(\boldsymbol{{\color{red}a}},\boldsymbol{{\color{green}p}}\right)\) ו-\({\color{green}\boldsymbol{p}}\in\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},\boldsymbol{{\color{orange}x}}\right)\), מכאן ש-\({\color{green}\boldsymbol{p}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right)\).
מסקנה 1.15. מסקנה 22. לכל \({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\in\MKbbx\) כך ש-\({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\) ו-\({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right)\), מתקיים \({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right)\) ו-\(\boldsymbol{{\color{blue}b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right)\).
הוכחה. הוכחה. תהיינה \({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\in\MKbbx\) ונניח ש-\({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},\boldsymbol{{\color{orange}x}}\right)\) ו-\(\boldsymbol{{\color{green}c}}\in\left(\boldsymbol{{\color{blue}b}},\boldsymbol{{\color{orange}x}}\right)\). העובדה ש-\(\boldsymbol{{\color{green}c}}\in\left(\boldsymbol{{\color{blue}b}},\boldsymbol{{\color{orange}x}}\right)\) היא פשוט ההגדרה של מרחב מכוון בנוסח שלעיל. כדי לקבל את העובדה ש-\(\boldsymbol{{\color{blue}b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right)\) יש לשים לב לכך ש-\({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\) ו-\(\boldsymbol{{\color{green}c}}\in\left(\boldsymbol{{\color{blue}b}},\boldsymbol{{\color{orange}x}}\right)\), ולהשתמש במסקנה 1.13.
2 קבוצות קוויות
תהא \(\MKclg\) חבורה אבלית סדורה, ויהי \(\left(\MKbbx,d\right)\) מרחב \(\MKclg\)-מטרי מכוון.
הגדרה 2.1. הגדרה 24. תת-קבוצה \(S\subseteq\MKbbx\) תיקרא קווית, אם לכל שלוש נקודות שונות ב-\(S\), אחת משלוש הנקודות נמצאת בין שתי האחרות. כמו כן, נאמר ש-\(n\) נקודות \(\MKseq x,n\in\MKbbx\) הן קוויות, אם הקבוצה \(\left\{ \MKseq x,n\right\} \) קווית.
הגדרה 2.2. הגדרה 25. נאמר שקבוצה קווית \(S\subseteq\MKbbx\) היא קבוצה קווית מרבית (או קבוצה קווית מקסימלית), אם לכל קבוצה קווית \(T\subseteq\MKbbx\) כך ש-\(S\subseteq T\) מתקיים \(S=T\).
מסקנה 2.3. מסקנה 26. תת-קבוצה \(S\subseteq\MKbbx\) היא קווית אם"ם לכל שלוש נקודות \(a,b,c\in S\) מתקיים לפחות אחת משלושת השוויונות הבאים:\[\begin{align*}
d\left(a,c\right) & =d\left(a,b\right)+d\left(b,c\right)\\
d\left(a,b\right) & =d\left(a,c\right)+d\left(c,b\right)\\
d\left(b,c\right) & =d\left(b,a\right)+d\left(a,c\right)
\end{align*}\]ובאופן שקול: מתקיים \(d\left(a,b\right)=\left|d\left(a,c\right)\pm d\left(c,b\right)\right|\).
מסקנה 2.4. מסקנה 27. תת-קבוצה של קבוצה קווית גם היא קווית.
מסקנה 2.5. מסקנה 28. כל קבוצה בת שני איברים או פחות, היא קבוצה קווית.
מסקנה 2.6. מסקנה 29. תהא \(S\subseteq\MKbbx\), התנאים הבאים שקולים:
\(S\) קווית.
לכל שלוש נקודות שונות ב-\(S\), בדיוק אחת משלוש הנקודות נמצאת בין שתי האחרות.
כל שלוש נקודות ב-\(S\) הן קוויות.
מסקנה 2.7. מסקנה 30. תהא \(S\subseteq\MKbbx\) קבוצה קווית. לכל ארבע נקודות \(a,b,c,x\in S\) כך ש-\(b\in\left(a,c\right)\) ו-\(x\) שונה מ-\(a,b,c\), מתקיימת בדיוק אחת מארבע האפשרויות הבאות:
בכל אחת מארבע האפשרויות, מהיות \(\MKbbx\) מרחב מכוון נובע שהחלק הראשון גורר את השני:
אם \({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{c}},{\color{green}\boldsymbol{a}}\right)\) ו-\({\color{green}\boldsymbol{a}}\in\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right)\), אז \({\color{green}\boldsymbol{a}}\in\left(\boldsymbol{{\color{red}c}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right)\).
אם \({\color{blue}\boldsymbol{x}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{b}}\right)\) ו-\({\color{green}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{c}}\right)\), אז \({\color{blue}\boldsymbol{x}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{c}}\right)\) (מסקנה 1.15).
אם \({\color{blue}\boldsymbol{x}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{c}},{\color{green}\boldsymbol{b}}\right)\) ו-\({\color{green}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{c}},{\color{orange}\boldsymbol{a}}\right)\) אז \({\color{blue}\boldsymbol{x}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{c}},{\color{orange}\boldsymbol{a}}\right)\) (מסקנה 1.15).
אם \({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left(\boldsymbol{{\color{red}a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\) ו-\({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right)\), אז \({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left(\boldsymbol{{\color{red}a}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right)\).
הוכחה. הוכחה. השילובים של כל שתיים מבין ארבע האפשרויות, מלבד השילוב של אפשרויות2ו-3, מהווים סתירה למסקנה 1.2 (נשים לב לחלק השני של כל אחת מהאפשרויות). ואילו השילוב של אפשרויות2ו-3מהווה סתירה לפי טענה 1.6 (נשים לב לחלק הראשון של שתי האפשרויות). אם כן הוכחנו שמתקיימת לכל היותר אחת מארבע האפשרויות. נניח בשלילה שאף אחת מן האפשרויות אינה מתקיימת. מהעובדה שאפשרויות1ו-4אינן מתקיימות נובע ש-\({\color{green}\boldsymbol{x}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{c}},{\color{orange}\boldsymbol{a}}\right)\), ומהעובדה שאפשרויות3ו-4אינן מתקיימות נובע ש-\({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{c}},{\color{green}\boldsymbol{x}}\right)\) (מסקנה 2.5). ולכן מהיות \(\MKbbx\) מרחב מכוון נובע ש-\({\color{green}\boldsymbol{x}}\in\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{a}}\right)\), כלומר אפשרות2מתקיימת בסתירה להנחת השלילה.
מסקנה 2.8. מסקנה 32. תהא \(S\subseteq\MKbbx\) קבוצה קווית. לכל \(a,b,c,x\in S\) כך ש-\(b\in\left(a,c\right)\), ו-\(x\) שונה מ-\(a,b,c\). מתקיים:
אם \(b\in\left(a,x\right)\) אז \(x\in\left(b,c\right)\) או ש-\(c\in\left(b,x\right)\).
אם \(b\in\left(x,c\right)\) אז \(x\in\left(a,b\right)\) או ש-\(a\in\left(x,b\right)\).
למה 2.9. למה 34. תהיינה \(a,b,x,y\in\MKbbx\)כך ש-\(a\neq b\). אם \(\left\{ a,b,x\right\} \) ו-\(\left\{ a,b,y\right\} \) קוויות אז גם \(\left\{ a,b,x,y\right\} \) קווית.
הוכחה. הוכחה. נניח ש-\(\left\{ a,b,x\right\} \) ו-\(\left\{ a,b,y\right\} \) קוויות; אם \(x\in\left\{ a,b\right\} \) או ש-\(y\in\left\{ a,b\right\} \) אז הטענה טריוויאלית, לכן נניח שהמצב אינו כזה, ונניח בהג"כ ש-\(x\in\left(a,b\right)\) או \(b\in\left(a,x\right)\). כעת נחלק למקרים (מהיות \(\left\{ a,b,y\right\} \) קווית נובע שאלו כל המקרים).
נניח ש-\(y\in\left(a,b\right)\).
אם \(x\in\left(a,b\right)\) אז ע"פ מסקנה 1.7 מתקיימת בדיוק אחת משלוש האפשרויות הבאות:
\(x=y\) - במקרה זה הטענה טריוויאלית.
\(x\in\left(a,y\right)\) ו-\(y\in\left(b,x\right)\) - במקרה זה בדיקה פשוטה מראה ש-\(\left\{ a,b,x,y\right\} \) קווית ע"פ הגדרה.
\(x\in\left(b,y\right)\) ו-\(y\in\left(a,x\right)\) - במקרה זה בדיקה פשוטה מראה ש-\(\left\{ a,b,x,y\right\} \) קווית ע"פ הגדרה.
ואם \(b\in\left(a,x\right)\) אז ע"פ טענה 1.9 מתקיים \(y\in\left(a,b\right)\subseteq\left(a,x\right)\), ומהיות \(\MKbbx\) מרחב מכוון נובע ש-\({\color{green}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{blue}\boldsymbol{y}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right)\) (כי \(\boldsymbol{{\color{blue}y}}\in\left(\boldsymbol{{\color{red}a}},\boldsymbol{{\color{green}b}}\right)\) ו-\(\boldsymbol{{\color{green}b}}\in\left(\boldsymbol{{\color{red}a}},\boldsymbol{{\color{orange}x}}\right)\)).
נניח ש-\(a\in\left(y,b\right)\).
אם \(x\in\left(a,b\right)\) אז ע"פ טענה 1.9 מתקיים \(x\in\left(a,b\right)\subseteq\left(y,b\right)\), ומהיות \(\MKbbx\) מרחב מכוון נובע ש-\({\color{green}\boldsymbol{a}}\in\left({\color{blue}\boldsymbol{x}},{\color{orange}\boldsymbol{y}}\right)\) (כי \(\boldsymbol{{\color{blue}x}}\in\left(\boldsymbol{{\color{red}b}},\boldsymbol{{\color{green}a}}\right)\) ו-\(\boldsymbol{{\color{green}a}}\in\left(\boldsymbol{{\color{red}b}},\boldsymbol{{\color{orange}y}}\right)\)).
ואם \(b\in\left(a,x\right)\) אז לפי מסקנה 1.13 מתקיים \({\color{blue}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{y}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right)\) (כי \({\color{blue}\boldsymbol{a}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{y}},{\color{green}\boldsymbol{b}}\right)\) ו-\({\color{green}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{blue}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right)\)).
המקרה שבו \(b\in\left(y,a\right)\) שקול למקרה הקודם (נחליף את \(a\) ו-\(b\) בכל מקום).
משפט 2.10. משפט 36. יהי \(\MKcls\subseteq\MKclp\left(\MKbbx\right)\) אוסף של קבוצות קוויות. אם קיימות שתי נקודות שונות \(a,b\in\MKbbx\), כך ש-\(a,b\in S\) לכל \(S\in\MKcls\), אז \({\displaystyle \bigcup_{S\in\MKcls}S}\) היא קבוצה קווית.
הוכחה. הוכחה. נניח שקיימות שתי נקודות שונות \(a,b\in\MKbbx\) כך ש-\(a,b\in S\) לכל \(S\in\MKcls\), ותהיינה \(a,b\in\MKbbx\) כאלה. תהיינה \(x,y,z\in\bigcup_{S\in\MKcls}S\), ע"פ הלמה (2.9) \(\left\{ a,b,x,y\right\} \) ו-\(\left\{ a,b,x,z\right\} \) קוויות, וממילא \(\left\{ b,x,y\right\} \) ו-\(\left\{ b,x,z\right\} \) גם הן קוויות. ושוב נקבל מהלמה ש-\(\left\{ b,x,y,z\right\} \) קווית וממילא \(\left\{ x,y,z\right\} \) קווית. \(x,y,z\) היו שרירותיות ולכן ע"פ מסקנה 2.5 הקבוצה \(\bigcup_{S\in\MKcls}S\) קווית.
מסקנה 2.11. מסקנה 38. לכל שתי נקודות שונות \(a,b\in\MKbbx\) קיימת קבוצה קווית מרבית יחידה \(S\subseteq\MKbbx\) כך ש-\(a,b\in S\). ובאופן שקול: לכל שתי קבוצות קוויות מרביות שונות יש לכל היותר נקודת חיתוך4תזכורת: נקודת חיתוך של שתי קבוצות היא נקודה השייכת לחיתוך שלהן, כמובן שעבור סתם שתי קבוצות אין הכרח שתהיה נקודה כזו או שתהיה רק אחת. אחת.
משפט 2.12. משפט 39. לכל קבוצה קווית \(S\subseteq\MKbbx\) קיים שיכון \(f:S\hookrightarrow\MKclg\).
הוכחה. הוכחה. צריך לכתוב הוכחה.
מסקנה 2.13. מסקנה 41. כל קבוצה קווית סגורה וחסומה היא קבוצה קומפקטית, בפרט כל קטע סגור הוא קבוצה קומפקטית.
מסקנה 2.14. מסקנה 42. לכל נקודה \(a\in\MKbbx\) ולכל קבוצה קווית סגורה \(S\subseteq\MKbbx\), קיימת נקודה \(b\in S\) כך שמתקיים:\[
d\left(a,b\right)=\min\left\{ d\left(a,x\right)\mid x\in S\right\}
\]כלומר קיימת נקודה ב-\(S\) שמרחקה מ-\(a\) הוא המינימלי מבין כל הנקודות ב-\(S\).
3 ישרים
תהא \(\MKclg\) חבורה אבלית סדורה, ויהי \(\left(\MKbbx,d\right)\) מרחב \(\MKclg\)-מטרי מכוון.
3.1 הגדרה ומסקנות פשוטות
למה 3.1. למה 43. תהא \(S\subseteq\MKbbx\) קבוצה קווית. לכל שתי נקודות שונות \(a,b\in S\), ולכל \(0<r_{1},r_{2}\in\MKclg\) כך ש-\(\left|r_{1}\pm r_{2}\right|=d\left(a,b\right)\) קיימת לכל היותר נקודה אחת \(x\in S\) כך ש-\(d\left(a,x\right)=r_{1}\) ו-\(d\left(b,x\right)=r_{2}\).
הוכחה. הוכחה. תהיינה \(a,b\in S\) שתי נקודות שונות, יהיו \(0<r_{1},r_{2}\in\MKclg\) כך ש-\(\left|r_{1}\pm r_{2}\right|=d\left(a,b\right)\). ותהיינה \(x,y\in S\) כך ש-\(d\left(a,x\right)=d\left(a,y\right)=r_{1}\) ו-\(d\left(b,x\right)=d\left(b,y\right)=r_{2}\)5אם אין ב-\(S\) שתי נקודות שונות הטענה נכונה באופן ריק, ואם לא קיימות \(x\) ו-\(y\) כנ"ל, הטענה טריוויאלית.. נניח בשלילה ש-\(x\neq y\), כלומר \(d\left(x,y\right)\neq0\). מהיות \(S\) קבוצה קווית נובע כי \(\left|d\left(x,y\right)\right|=\left|d\left(x,a\right)\pm d\left(a,y\right)\right|=\left|r_{1}\pm r_{1}\right|\), ולכן מהנחת השלילה נקבל ש-\(\left|d\left(x,y\right)\right|=2r_{1}\) וש-\(a\in\left(x,y\right)\). באותו אופן נקבל ש-\(\left|d\left(x,y\right)\right|=2r_{1}\) וש-\(b\in\left(x,y\right)\), ולכן נוכל לסמן \(r:=r_{1}=r_{2}\). ע"פ מסקנה 1.7 מתקיימת אחת משתי האפשרויות הבאות:
\(a\in\left(x,b\right)\) ו-\(b\in\left(a,y\right)\) -\[\begin{align*}
\Rightarrow2r & =d\left(x,y\right)=d\left(x,a\right)+d\left(a,y\right)\\
& =d\left(x,a\right)+d\left(a,b\right)+d\left(b,y\right)\\
& =2r+d\left(a,b\right)
\end{align*}\]מכאן ש-\(d\left(a,b\right)=0\), וזאת בסתירה לכך ש-\(a\) ו-\(b\) שונות זו מזו. מכאן שהנחת השלילה אינה נכונה ו-\(x=y\), כלומר קיימת לכל היותר נקודה אחת \(x\in S\) כך ש-\(d\left(a,x\right)=r_{1}\) ו-\(d\left(b,x\right)=r_{2}\).
\(b\in\left(x,a\right)\) ו-\(a\in\left(b,y\right)\) - מקרה זה שקול לראשון (נחליף את \(a\) ו-\(b\) בכל מקום).
הגדרה 3.2. הגדרה 45. קבוצה \(L\subseteq\MKbbx\) תיקרא ישר אם היא מקיימת את שלושת התנאים הבאים:
\(L\) קווית.
יש ב-\(L\) שתי נקודות שונות.
לכל שתי נקודות שונות \(a,b\in L\), ולכל \(0<r_{1},r_{2}\in\MKclg\) כך ש-\(\left|r_{1}\pm r_{2}\right|=d\left(a,b\right)\), קיימת נקודה \(x\in L\) כך ש-\(d\left(a,x\right)=r_{1}\) ו-\(d\left(b,x\right)=r_{2}\).
\(\clubsuit\)
כלומר ישר הוא קבוצה קווית שאין בה "חורים".
מסקנה 3.3. מסקנה 46. לכל ישר \(L\subseteq\MKbbx\), לכל שתי נקודות שונות \(a,b\in L\), ולכל \(0<r_{1},r_{2}\in\MKclg\) כך ש-\(\left|r_{1}\pm r_{2}\right|=d\left(a,b\right)\), קיימת נקודה יחידה \(x\in L\) כך ש-\(d\left(a,x\right)=r_{1}\) ו-\(d\left(b,x\right)=r_{2}\).
מסקנה 3.4. מסקנה 47. תהא \(S\subseteq\MKbbx\) קבוצה קווית. לכל שתי נקודות שונות \(a,b\in S\), ולכל ישר \(L\subseteq\MKbbx\); אם \(a,b\in L\) אז \(S\subseteq L\).
מסקנה 3.5. מסקנה 48. כל ישר הוא קבוצה קווית מרבית.
מסקנה 3.6. מסקנה 49. לכל שני ישרים שונים יש לכל היותר נקודת חיתוך אחת.
\(\clubsuit\)
או במילים אחרות: "דרך שתי נקודות עובר ישר אחד לכל היותר".
\(\clubsuit\)
מכאן ואילך נוכל לומר "נקודת החיתוך" (בה"א הידיעה) עבור שני ישרים שונים שאינם זרים.
משפט 3.7. משפט 50. כל ישר איזומטרי ל-\(\MKclg\) עם המטריקה הסטנדרטית, בפרט:
כל ישר הוא קבוצה אין-סופית.
לכל ישר \(L\subseteq\MKbbx\), ולכל \(a,b\in L\), מתקיים \(\left[a,b\right]\subseteq L\).
כל ישר הוא קבוצה סגורה.
הוכחה. הוכחה. צריך לכתוב הוכחה.
3.2 הגדרות שקולות לישר
\(\clubsuit\)
בתת-פרק זה נוכיח שתי הגדרות שקולות לישר:
קבוצה קווית לא ריקה שיש בה שתי נקודות שונות המקיימות את הסעיף השלישי בהגדרת הישר (כלומר "קיימות שתי נקודות שונות..." במקום "לכל שתי נקודות שונות...")
קבוצה קווית שיש בה נקודה המקיימת שלכל מרחק חיובי קיימות שתי נקודות שונות בקבוצה הקווית הנמצאות במרחב זה מן הנקודה הראשונה.
למה 3.8. למה 52. תהא \(S\subseteq\MKbbx\) קבוצה קווית. אם קיימות שתי נקודות שונות \(a,b\in S\) המקיימות שלכל \(0<r_{1},r_{2}\in\MKclg\) כך ש-\(\left|r_{1}\pm r_{2}\right|=d\left(a,b\right)\), קיימת נקודה \(y\in S\) המקיימת \(d\left(a,y\right)=r_{1}\) ו-\(d\left(b,y\right)=r_{2}\); אז לכל נקודה \(x\in S\), ולכל \(0<r_{1},r_{2}\in\MKclg\) כך ש-\(\left|r_{1}\pm r_{2}\right|=d\left(a,x\right)\), קיימת נקודה \(y\in S\) המקיימת \(d\left(a,y\right)=r_{1}\) ו-\(d\left(x,y\right)=r_{2}\).
הוכחה. הוכחה. תהיינה \(a,b\in S\) כנ"ל (נניח שיש כאלה), מכאן ש-\(S\nsubseteq\left\{ a,b\right\} \); אם כן תהא \(x\in S\) נקודה שלישית (\(x\notin\left\{ a,b\right\} \)), יהיו \(0<r_{1},r_{2}\in\MKclg\) כך ש-\(\left|r_{1}\pm r_{2}\right|=d\left(a,x\right)\), ונחלק למקרים (ע"פ מסקנה 2.5 אלו אכן כל המקרים).
אם \(r_{1}\pm r_{2}=d\left(a,x\right)\), נבחר נקודה \(y\in S\) המקיימת \(d\left(a,y\right)=r_{1}\) ו-\(d\left(b,y\right)=d\left(b,a\right)+r_{1}\). מכאן ש-\(a\in\left(b,y\right)\), ולכן \(b\notin\left(a,y\right)\) וגם \(y\notin\left(a,b\right)\).
כעת, אם \(r_{1}+r_{2}=d\left(a,x\right)\) אז \(y\in\left(a,x\right)\), כלומר \(r_{1}+r_{2}=d\left(a,x\right)=d\left(a,y\right)+d\left(y,x\right)=r_{1}+d\left(x,y\right)\), וממילא \(d\left(x,y\right)=r_{2}\) כנדרש.
ואם \(r_{1}-r_{2}=d\left(a,x\right)\) אז \(y\notin\left(a,x\right)\), ולכן ע"פ טענה 2.7\(x\in\left(a,y\right)\).\[
\Rightarrow d\left(a,y\right)=d\left(a,x\right)+d\left(x,y\right)=r_{1}-r_{2}+d\left(x,y\right)
\]\[
\Rightarrow d\left(x,y\right)=d\left(a,y\right)-r_{1}+r_{2}=r_{2}
\]
אם \(r_{2}-r_{1}=d\left(a,x\right)\), נבחר נקודה \(y\in S\) המקיימת \(d\left(a,y\right)=r_{1}\) ו-\(d\left(b,y\right)=\left|d\left(b,a\right)-r_{1}\right|\).
כעת, אם \(d\left(b,y\right)=d\left(b,a\right)-r_{1}\) אז \(y\in\left(a,b\right)\), ולכן גם \(y\in\left(b,x\right)\) (אקסיומת הסדר הראשונה).\[\begin{align*}
\Rightarrow d\left(b,x\right) & =d\left(b,y\right)+d\left(y,x\right)=d\left(b,a\right)-r_{1}+d\left(x,y\right)\\
& =d\left(b,a\right)+d\left(a,x\right)-r_{2}+d\left(x,y\right)\\
& =d\left(b,x\right)-r_{2}+d\left(x,y\right)
\end{align*}\]\[
\Rightarrow d\left(x,y\right)=r_{2}+d\left(b,x\right)-d\left(b,x\right)=r_{2}
\]
ואם \(d\left(b,y\right)=r_{1}-d\left(b,a\right)\) אז \(b\in\left(a,y\right)\), ולכן גם \(b\in\left(x,y\right)\) (אקסיומת הסדר הראשונה).\[\begin{align*}
\Rightarrow d\left(x,y\right) & =d\left(x,b\right)+d\left(b,y\right)=d\left(x,a\right)+d\left(a,b\right)+r_{1}-d\left(b,a\right)\\
& =d\left(a,x\right)+r_{1}=r_{2}-r_{1}+r_{1}=r_{2}
\end{align*}\]
אם \(r_{1}\pm r_{2}=d\left(a,x\right)\), נבחר נקודה \(y\in S\) המקיימת \(d\left(a,y\right)=r_{1}\) ו-\(d\left(b,y\right)=\left|d\left(b,a\right)-r_{1}\right|\).
בנוסף, אם \(d\left(b,y\right)=d\left(b,a\right)-r_{1}\) אז \(y\in\left(a,b\right)\), ולכן גם \(y\in\left(a,x\right)\) (אקסיומת הסדר הראשונה).\[\begin{align*}
\Rightarrow d\left(a,x\right) & =d\left(a,y\right)+d\left(y,x\right)\\
& =r_{1}+d\left(y,x\right)>r_{1}
\end{align*}\]\[
\Rightarrow d\left(a,x\right)=r_{1}+r_{2}
\]\[
\Rightarrow r_{1}+r_{2}=d\left(a,y\right)+d\left(y,x\right)=r_{1}+d\left(x,y\right)
\]\[
\Rightarrow d\left(x,y\right)=r_{1}+r_{2}-r_{1}=r_{2}
\]
ואם \(d\left(b,y\right)=r_{1}-d\left(b,a\right)\) אז \(b\in\left(a,y\right)\), ולכן \(y\in\left(b,x\right)\) או ש-\(x\in\left(b,y\right)\) נמצאת בין \(B\) ל-\(a\) (מסקנה 2.8). לא ייתכן ש-\(x\in\left(b,y\right)\) וגם \(r_{1}+r_{2}=d\left(a,x\right)\) משום שאז נקבל:\[\begin{align*}
r_{1} & =d\left(a,y\right)=d\left(a,b\right)+d\left(b,y\right)\\
& =d\left(a,b\right)+d\left(b,x\right)+d\left(x,y\right)\\
& =d\left(a,x\right)+d\left(x,y\right)\\
& =r_{1}+r_{2}+d\left(x,y\right)>r_{1}
\end{align*}\]וכמו כן, לא ייתכן ש-\(y\in\left(b,x\right)\) וגם \(r_{1}-r_{2}=d\left(a,x\right)\) משום שאז נקבל:\[\begin{align*}
r_{1} & =d\left(a,y\right)=d\left(a,b\right)+d\left(b,y\right)\\
& =d\left(a,b\right)+d\left(b,x\right)-d\left(x,y\right)\\
& =d\left(a,x\right)-d\left(x,y\right)\\
& =r_{1}-r_{2}-d\left(x,y\right)<r_{1}
\end{align*}\]מכאן שמתקיימת אחת משתי האפשרויות הבאות:
אם \(r_{2}-r_{1}=d\left(a,x\right)\), נבחר נקודה \(y\in S\) המקיימת \(d\left(a,y\right)=r_{1}\) ו-\(d\left(b,y\right)=d\left(b,a\right)+r_{1}\). מכאן ש-\(a\in\left(b,y\right)\), ולכן גם \(a\in\left(x,y\right)\) (אקסיומת הסדר הראשונה).\[
\Rightarrow d\left(x,y\right)=d\left(x,a\right)+d\left(a,y\right)=r_{2}-r_{1}+r_{1}=r_{2}
\]
אם \(r_{1}\pm r_{2}=d\left(a,x\right)\), נבחר נקודה \(y\in S\) המקיימת \(d\left(a,y\right)=r_{1}\) ו-\(d\left(b,y\right)=\left|d\left(b,a\right)-r_{1}\right|\).
כעת, אם \(d\left(b,y\right)=d\left(b,a\right)-r_{1}\) אז \(y\in\left(a,b\right)\), ולכן מתקיימת אחת משתי האפשרויות הבאות (מסקנה 1.7):
ואם \(d\left(b,y\right)=r_{1}-d\left(a,b\right)\) אז \(b\in\left(a,y\right)\), ולכן גם \(x\in\left(a,y\right)\) (מסקנה 1.15).\[
\Rightarrow r_{1}=d\left(a,y\right)=d\left(a,x\right)+d\left(x,y\right)=r_{1}\pm r_{2}+d\left(x,y\right)
\]\[
\Rightarrow d\left(x,y\right)=r_{1}-r_{1}\mp r_{2}=\mp r_{2}
\]\[
\Rightarrow d\left(x,y\right)=r_{2}
\]
אם \(r_{2}-r_{1}=d\left(a,x\right)\) נבחר נקודה \(y\in S\) המקיימת \(d\left(a,y\right)=r_{1}\) ו-\(d\left(b,y\right)=d\left(b,a\right)+r_{1}\). מכאן ש-\(a\in\left(b,y\right)\), ולכן גם \(a\in\left(x,y\right)\) (מסקנה 1.15).\[
\Rightarrow d\left(x,y\right)=d\left(x,a\right)+d\left(a,y\right)=r_{2}-r_{1}+r_{1}=r_{2}
\]
מסקנה 3.9. מסקנה 54. תהא \(S\subseteq\MKbbx\) קבוצה קווית. אם קיימות שתי נקודות שונות \(a,b\in S\) המקיימות שלכל \(0<r_{1},r_{2}\in\MKclg\) כך ש-\(\left|r_{1}\pm r_{2}\right|=d\left(a,b\right)\), קיימת נקודה \(c\in S\) המקיימת \(d\left(a,c\right)=r_{1}\) ו-\(d\left(b,c\right)=r_{2}\); אז לכל שתי נקודות \(x,y\in S\), ולכל \(0<r_{1},r_{2}\in\MKclg\) כך ש-\(\left|r_{1}\pm r_{2}\right|=d\left(x,y\right)\), קיימת נקודה \(z\in L\) המקיימת \(d\left(x,z\right)=r_{1}\) ו-\(d\left(y,z\right)=r_{2}\).
מסקנה 3.10. מסקנה 55. קבוצה קווית \(S\subseteq\MKbbx\) היא ישר אם"ם קיימות שתי נקודות שונות \(a,b\in S\) המקיימות שלכל \(0<r_{1},r_{2}\in\MKclg\) כך ש-\(\left|r_{1}\pm r_{2}\right|=d\left(a,b\right)\), קיימת נקודה \(c\in L\) המקיימת \(d\left(a,c\right)=r_{1}\) ו-\(d\left(b,c\right)=r_{2}\).
למה 3.11. למה 56. תהא \(S\subseteq\MKbbx\) קבוצה קווית. לכל נקודה \(a\in S\), ולכל \(0<r\in\MKclg\), קיימות לכל היותר שתי נקודות שונות \(b,c\in S\) כך ש-\(d\left(a,b\right)=d\left(b,c\right)=r\).
הוכחה. הוכחה. יהיו \(a\in S\) ו-\(0<r\in\MKclg\), ונניח בשלילה שקיימות שלוש נקודות שונות \(x,y,z\in S\) כך ש-\(d\left(a,x\right)=d\left(a,y\right)=d\left(a,z\right)=r\). מכאן ש-\(a\) נמצאת בין כל שתיים משלוש הנקודות הללו6שכן ע"פ שוויונות המשולש המנוון אם אחת משלוש הנקודות הללו נמצאת בין \(a\) לנקודה אחרת הרי שמרחקה של זו גדול מ-\(r\)., אך זה עומד בסתירה לטענה 2.7. מכאן שהנחת השלילה אינה נכונה וקיימות לכל היותר שתי נקודות כאלה.
מסקנה 3.12. מסקנה 58. לכל ישר \(L\subseteq\MKbbx\), לכל נקודה \(a\in L\) ולכל \(0<r\in\MKclg\), קיימות בדיוק שתי נקודות שונות \(b,c\in L\) כך ש-\(d\left(a,b\right)=d\left(b,c\right)=r\).
הוכחה. הוכחה. יהי \(L\subseteq\MKbbx\) ישר, ותהא \(a\in L\) נקודה שעליו, ויהי \(0<r\in\MKclg\). מהיות \(L\) ישר נובע שיש ב-\(L\) נקודה נוספת מלבד \(a\) - תהא \(a'\) כנ"ל. מהיות \(L\) ישר נובע גם שקיימות שתי נקודות \(b,c\in L\) המקיימות:\[\begin{align*}
d\left(a,b\right) & =r & d\left(a',b\right) & =\left|d\left(a,a'\right)-r\right|\\
d\left(a,c\right) & =r & d\left(a',c\right) & =d\left(a,a'\right)+r
\end{align*}\]מכיוון ש-\(a\neq a'\) נדע ש-\(d\left(a,a'\right)\neq0\) ו-\(d\left(a',b\right)\neq d\left(a',c\right)\), ומכאן ש-\(b\neq c\).
משפט 3.13. משפט 60. תהא \(L\subseteq\MKbbx\) קבוצה קווית, התנאים הבאים שקולים:
\(L\) היא ישר.
\(L\) אינה ריקה, ובנוסף לכל נקודה \(a\in L\), ולכל \(0<r\in\MKclg\), קיימות שתי נקודות שונות \(b,c\in L\) כך ש-\(d\left(a,b\right)=d\left(a,c\right)=r\).
קיימת נקודה \(a\in L\) כך שלכל \(0<r\in\MKclg\), קיימות שתי נקודות שונות \(b,c\in L\) המקיימות \(d\left(a,b\right)=d\left(a,c\right)=r\).
קיימות שתי נקודות שונות \(a,b\in S\) המקיימות שלכל \(0<r_{1},r_{2}\in\MKclg\) כך ש-\(\left|r_{1}\pm r_{2}\right|=d\left(a,b\right)\), קיימת נקודה \(c\in L\) המקיימת \(d\left(a,c\right)=r_{1}\) ו-\(d\left(b,c\right)=r_{2}\).
\(2\rightarrow3\) הגרירה טריוויאלית שכן \(L\) אינה ריקה.
\(3\rightarrow4\) תהא \(a\in L\) המקיימת את תנאי3, תהא \(a\neq a'\in L\) (ע"פ התנאי קיימת \(a'\) כזו), ויהיו \(0<r_{1},r_{2}\in\MKreal\) כך ש-\(\left|r_{1}\pm r_{2}\right|=d\left(a,a'\right)\). כמו כן תהיינה \(b,c\in L\) שתי נקודות שונות המקיימות \(d\left(a,b\right)=d\left(a,c\right)=r_{1}\), מהיות \(b\) ו-\(c\) נקודות שונות במרחק זהה מ-\(a\), ומהיות \(L\) קבוצה קווית, נובע ש-\(a\) נמצאת בין \(b\) ל-\(c\). ע"פ טענה 2.7 מתקיימת בדיוק אחת מארבע האפשרויות הבאות:
\(b\in\left(a,a'\right)\), מכאן ש-\(d\left(a,b\right)<d\left(a,a'\right)\), ולכן \(d\left(a,b\right)+r_{2}=d\left(a,a'\right)=d\left(a,b\right)+d\left(b,a'\right)\), וממילא \(d\left(b,a'\right)=r_{2}\).
\(a'\in\left(a,b\right)\), מכאן ש-\(d\left(a,b\right)>d\left(a,a'\right)\), ולכן \(d\left(a,b\right)-r_{2}=d\left(a,a'\right)=d\left(a,b\right)-d\left(a',b\right)\), וממילא \(d\left(a',b\right)=r_{2}\).
\(a'\in\left(a,c\right)\), מכאן ש-\(d\left(a,c\right)>d\left(a,a'\right)\), ולכן \(d\left(a,c\right)-r_{2}=d\left(a,a'\right)=d\left(a,c\right)-d\left(a',c\right)\), וממילא \(d\left(a',c\right)=r_{2}\).
\(c\in\left(a,a'\right)\), מכאן ש-\(d\left(a,c\right)<d\left(a,a'\right)\), ולכן \(d\left(a,c\right)+r_{2}=d\left(a,a'\right)=d\left(a,c\right)+d\left(c,a'\right)\), וממילא \(d\left(c,a'\right)=r_{2}\).
\(4\rightarrow1\) את השקילות בין תנאי1לתנאי4ראינו כבר במסקנה 3.10, בפרט תנאי4גורר את תנאי1.
4 שלמות קווית והמספרים הממשיים
יהי \(\left(\MKbbx,d\right)\) מרחב \(\MKclg\)-מטרי מכוון.
הגדרה 4.1. הגדרה 62. נאמר ששתי קבוצות קוויות לא ריקות \(A,B\subseteq\MKbbx\) הן נפרדות אם לא קיימים \(a_{1},a_{2}\in A\) ו-\(b\in B\) כך ש-\(b\in\left[a_{1},a_{2}\right]\), וגם לא קיימים \(a\in A\) ו-\(b_{1},b_{2}\in B\) כך ש-\(a\in\left[b_{1},b_{2}\right]\).
הגדרה 4.2. הגדרה 63. נאמר שמרחב \(\MKclg\)-מטרי \(\left(\MKbbx,d\right)\) הוא מרחב שלם קווית אם מתקיימות שתי התכונות הבאות:
יש ב-\(\MKbbx\) שתי נקודות שונות וכל קבוצה קווית מרבית \(S\subseteq\MKbbx\) היא ישר.
לכל ישר \(L\subseteq\MKbbx\), ולכל שתי קבוצות נפרדות \(A,B\subseteq L\), קיים \(c\in L\) כך ש-\(c\in\left[a,b\right]\) לכל \(a\in A\) ולכל \(b\in B\).
נניח ש-\(\left(\MKbbx,d\right)\) הוא מרחב שלם קווית.
\(\clubsuit\)
בכך אנו מניחים את שתי האקסיומות הראשונות של אוקלידס:
בין כל שתי נקודות אפשר להעביר קטע ישר.
כל קטע יכול להמשיך ללא גבול כקו ישר.
מסקנה 4.3. מסקנה 64. דרך כל שתי נקודות עובר ישר אחד ויחיד לכל שתי נקודות שונות \(a,b\in\MKbbx\) קיים ישר יחיד \(L\subseteq\MKbbx\) כך ש-\(a,b\in L\).
סימון:
לכל שתי נקודות שונות \(a,b\in\MKbbx\), נסמן ב-\(L_{ab}\) את הישר היחיד המקיים \(a,b\in L_{ab}\).
צריך להמשיך את הפרק עד להגדרה שקולה של הממשיים באופן גאומטרי.
רוצים לפרגן לי על בניית האתר וכתיבת הסיכומים?אתם מוזמנים לתת טיפ.להורדה כ-PDF:
#scrollButton {
position: fixed;
bottom: 0.7em;
right: 0.7em;
z-index: 1;
height: 3.5em;
width: 3.5em;
cursor: pointer;
background-color: #084149;
opacity: 80%;
}
#scrollImage {
position: fixed;
bottom: 0.7em;
right: 0.7em;
height: 3.5em;
width: 3.5em;
opacity: 80%;
}
function scrollToTop() {
window.scrollTo({ top: 0, behavior: 'smooth' });
}
דפי האתרדף הביתאודותצור קשרמפת אתרענפים מתמטייםאנליזהאלגברהענפים נוספיםמאמריםאקסיומת השלמותסיכומי הרצאות במתמטיקה
{"prefetch":[{"source":"document","where":{"and":[{"href_matches":"\/*"},{"not":{"href_matches":["\/wp-*.php","\/wp-admin\/*","\/wp-content\/uploads\/*","\/wp-content\/*","\/wp-content\/plugins\/*","\/wp-content\/themes\/twentytwentyfive\/*","\/*\\?(.+)"]}},{"not":{"selector_matches":"a[rel~=\"nofollow\"]"}},{"not":{"selector_matches":".no-prefetch, .no-prefetch a"}}]},"eagerness":"conservative"}]}
דף הביתתרומהשיעורים פרטייםמפת אתראודותREADMEהתנצלותו של המתמטיקאיהקדשהאנליזהאלגברהענפים נוספיםמאמריםיסודותצור קשרעודלאתר הקודםsrayaa.comעִבְלִיקְסתנ"ך ברויאר מוקלט
( function() {
var skipLinkTarget = document.querySelector( 'main' ),
sibling,
skipLinkTargetID,
skipLink;
// Early exit if a skip-link target can't be located.
if ( ! skipLinkTarget ) {
return;
}
/*
* Get the site wrapper.
* The skip-link will be injected in the beginning of it.
*/
sibling = document.querySelector( '.wp-site-blocks' );
// Early exit if the root element was not found.
if ( ! sibling ) {
return;
}
// Get the skip-link target's ID, and generate one if it doesn't exist.
skipLinkTargetID = skipLinkTarget.id;
if ( ! skipLinkTargetID ) {
skipLinkTargetID = 'wp--skip-link--target';
skipLinkTarget.id = skipLinkTargetID;
}
// Create the skip link.
skipLink = document.createElement( 'a' );
skipLink.classList.add( 'skip-link', 'screen-reader-text' );
skipLink.id = 'wp-skip-link';
skipLink.href = '#' + skipLinkTargetID;
skipLink.innerText = 'לדלג לתוכן';
// Inject the skip link.
sibling.parentElement.insertBefore( skipLink, sibling );
}() );